[新智元導(dǎo)讀]42，可以寫成3個(gè)整數(shù)的立方和！這是數(shù)學(xué)界的一大突破，由MIT和布里斯托大學(xué)的數(shù)學(xué)家共同發(fā)現(xiàn)，他們以“生命、宇宙以及一切”的網(wǎng)頁標(biāo)題，公布了這一成果。

　　人類第一次將42寫成了3個(gè)整數(shù)的立方和！

　　昨天，有人在 MIT 數(shù)學(xué)系的網(wǎng)站上貼出一個(gè)等式，網(wǎng)頁很簡單，但沒給出結(jié)果：

　�。�-80538738812075974）^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

　　等于 42！

　　在推特上，菲爾茲獎(jiǎng)得主高爾斯也轉(zhuǎn)發(fā)了這個(gè)結(jié)果。

　　這是一個(gè)大新聞，因?yàn)橹链�，下面這句話成為了定理：

　　除了 9n±4 型自然數(shù)外，所有 100 以內(nèi)的自然數(shù)都能寫成三個(gè)整數(shù)的立方和。

　　是的，在此之前，42是100以內(nèi)最后一個(gè)尚未找到立方和的整數(shù)解的自然數(shù)�，F(xiàn)在，這個(gè)解也找到了。

　　找到這個(gè)等式的數(shù)學(xué)家是來自布里斯托大學(xué)的 Andrew Booker 和來自麻省理工學(xué)院的Andrew Sutherland。

　　Andrew Booker 是布里斯托大學(xué)數(shù)學(xué)教授

　　今年3月， Andrew Booker 找到了33的立方和整數(shù)解，同樣引起數(shù)學(xué)界轟動(dòng)。昨天，Andrew Booker穿著印有“42”的T恤接受采訪，解釋了他們的研究過程。

　　在被問到“你們解決這個(gè)問題后，有沒有興奮得跳起來”時(shí)，Booker說：“我這次倒是沒有跳起來，但是你知道，解決一個(gè)三、四十年來一直懸而未決的問題，實(shí)在是令人很滿足！當(dāng)然，這個(gè)論題本身還沒有解決，下一個(gè)數(shù)字是114……”

　　有意思的是，兩位數(shù)學(xué)家公布這一結(jié)果的網(wǎng)頁標(biāo)題是“生命、宇宙以及一切”（Life， the Universe and Everything）。

　　在道格拉斯·亞當(dāng)斯著名的《銀河系漫游指南》系列中，42是“生命、宇宙以及一切的終極答案”。

　　茫茫宇宙中，一個(gè) “具有超級(jí)智慧的泛維度種族” 對(duì)關(guān)于生命意義的無休止的爭論感到厭煩了，他們決定一勞永逸地解決這個(gè)問題。他們建造了宇宙一切空間和時(shí)間中第二強(qiáng)大的電腦 “沉思”，向它尋求 “關(guān)于生命、宇宙，以及一切的終極答案”。

　　整整 750 萬年后，“沉思” 給出了答案 —42。

　　面對(duì)這個(gè)玄妙的答案，泛維度種族需要回過頭先弄明白生命宇宙以及一切的終極問題，方能理解答案。但 “沉思” 不能勝任此項(xiàng)艱巨的任務(wù)，它說：“你們需要一臺(tái)能夠計(jì)算出這個(gè)終極答案的電腦，這臺(tái)電腦具有無限和微妙的復(fù)雜性，以至于有機(jī)生命本身將會(huì)成為操作母體的一部分。你們自身也會(huì)以一種新的生命形式投入到這臺(tái)電腦中，去操控為期 1000 萬年的程序。我將會(huì)為你們?cè)O(shè)計(jì)出這臺(tái)電腦，并且我已為它取好名字。它將會(huì)被稱為…… 地球。”

　　癡迷、癡狂！人類尋找三立方數(shù)和簡史

　　人類為什么對(duì)這樣一個(gè)等式如此著迷呢？

　　這個(gè)問題至少可以追溯到 1825 年，數(shù)學(xué)家想知道，如果給定整數(shù) K，是否存在整數(shù) X、Y、Z，滿足：

　　X^3 + Y^3 + Z^3 = K。

　　數(shù)論領(lǐng)域下有一大分支叫“丟番圖方程”：

　　x^3+y^3+z^3=k 是否存在整數(shù)解是丟番圖方程中的一個(gè)問題。

　　丟番圖 （Diophantine） 是一位古希臘的大數(shù)學(xué)家，被認(rèn)為是第一位懂得使用符號(hào)代表數(shù)來研究問題的人。

　　丟番圖和他的墓志銘

　　其中丟番圖最著名的事跡可能就是他的墓志銘 —— 曾經(jīng)連續(xù)多年出現(xiàn)在各地中小學(xué)生的寒假作業(yè)擴(kuò)展訓(xùn)練上：

　　墳中安葬著丟番圖。

　　多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。

　　上帝給予的童年占六分之一，

　　又過十二分之一，兩頰長胡，

　　再過七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。

　　五年之后天賜貴子，

　　可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。

　　悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，

　　又過四年，他也走完了人生的旅途。

　　回到丟番圖方程，由于立方數(shù)模 9 同余 0、1 或 - 1，三立方數(shù)和模 9 不可能同余 4 或 5，因而這是整數(shù)解存在的一個(gè)必要條件。因此9k+4或9k+5這種形式的整數(shù)不能寫成三個(gè)立方數(shù)之和。然而，對(duì)于該條件是否同時(shí)為充分條件目前仍未有定論。

　　1992年，牛津大學(xué)的Roger Heath-Brown提出猜想，即其它所有整數(shù)都可以用無窮多種不同的方式寫成三個(gè)立方體的和。在那以后，數(shù)學(xué)家們似乎已經(jīng)被Heath-Brown的論點(diǎn)所說服，然而，找到把任何特定的數(shù)寫成三個(gè)立方體之和的方法仍然是一個(gè)難題。

　　2000年，哈佛大學(xué)的Noam Elkies提出了一個(gè)實(shí)用的算法來尋找這類解。Elkies和其他數(shù)學(xué)家使用類似的方法，成功地為許多較小的整數(shù)找到了立方和的整數(shù)解。

　　2015年，數(shù)學(xué)家Tim Browning錄制了一段視頻，解釋了這個(gè)問題。在那個(gè)時(shí)候，只有33、42和74這三個(gè)小于100的整數(shù)尚未找到解。這段視頻讓更多的人注意到了這個(gè)問題，并帶來了一系列的突破。

　　Tim Browning的視頻讓更多數(shù)學(xué)家關(guān)注這個(gè)問題

　　受到這段視頻的啟發(fā)，幾個(gè)月后，Sander Huisman找到了74的立方和整數(shù)解：

　　Tim Browning再次錄制了一段關(guān)于Huisman解決74的視頻。另一位數(shù)學(xué)家，即布里斯托大學(xué)的Andrew Booker看到了這段視頻，決定解決這個(gè)問題。

　　他提出了一種新的算法，這種算法能更有效地找到一個(gè)特定數(shù)字的解。2019年2月27日，Booker公布了33的立方和整數(shù)解。

　　昨天，42也被解決了！Andrew Sutherland和Andrew Booker同時(shí)更新他們的主頁，報(bào)告了42的立方和的整數(shù)解：

　　這意味著100以內(nèi)的自然數(shù)的立方和的整數(shù)解全部找到！

　　1000以內(nèi)還沒找到解的整數(shù)只剩下：114，165，390，579，627，633，732，906，921 和 975。

　　100 以內(nèi)三立方和的非零解全表

　　最后，附上 100 以內(nèi)三立方和的非零解全表（多種寫法選取其中一個(gè)）：

　　1 = （-1）³ + 1³ + 1³

　　2 = 7³ + （-5）³ + （-6）³

　　3 = 1³ + 1³ + 1³

　　4 不可能

　　5 不可能

　　6 = （-1）³ + （-1）³ + 2³

　　7 = 104³ + 32³ + （-105）³

　　8 = （-1）³ + 1³ + 2³

　　9 = 217³ + （-52）³ + （-216）³

　　10 = 1³ + 1³ + 2³

　　11 = （-2）³ + （-2）³ + 3³

　　12 = 7³ + 10³ + （-11）³

　　13 不可能

　　14 不可能

　　15 = （-1）³ + 2³ + 2³

　　16 = （-511）³ + （-1609）³ + 1626³

　　17 = 1³ + 2³ + 2³

　　18 = （-1）³ + （-2）³ + 3³

　　19 = 19³ + （-14）³ + （-16）³

　　20 = 1³ + （-2）³ + 3³

　　21 = （-11）³ + （-14）³ + 16³

　　22 不可能

　　23 不可能

　　24 = （-2901096694）³ + （-15550555555）³ + 15584139827³

　　25 = （-1）³ + （-1）³ + 3³

　　26 = 297³ + 161³ + （-312）³

　　27 = （-1）³ + 1³ + 3³

　　28 = 14³ + 13³ + （-17）³

　　29 = 1³ + 1³ + 3³

　　30 = （-283059965）³ + （-2218888517）³ + 2220422932³

　　31 不可能

　　32 不可能

　　33 = 8866128975287528³ + （-8778405442862239）³ + （-2736111468807040）³

　　34 = （-1）³ + 2³ + 3³

　　35 = 14³ + （-8）³ + （-13）³

　　36 = 1³ + 2³ + 3³

　　37 = 50³ + 37³ + （-56）³

　　38 = 1³ + （-3）³ + 4³

　　39 = 117367³ + 134476³ + （-159380）³

　　40 不可能

　　41 不可能

　　42 = （-80538738812075974）³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

　　43 = 2³ + 2³ + 3³

　　44 = （-5）³ + （-7）³ + 8³

　　45 = 2³ + （-3）³ + 4³

　　46 = （-2）³ + 3³ + 3³

　　47 = 6³ + 7³ + （-8）³

　　48 = （-23）³ + （-26）³ + 31³

　　49 不可能

　　50 不可能

　　51 = 602³ + 659³ + （-796）³

　　52 = 23961292454³ + 60702901317³ + （-61922712865）³

　　53 = （-1）³ + 3³ + 3³

　　54 = （-7）³ + （-11）³ + 12³

　　55 = 1³ + 3³ + 3³

　　56 = （-11）³ + （-21）³ + 22³

　　57 = 1³ + （-2）³ + 4³

　　58 不可能

　　59 不可能

　　60 = （-1）³ + （-4）³ + 5³

　　61 = 845³ + 668³ + （-966）³

　　62 = 3³ + 3³ + 2³

　　63 = 7³ + （-4）³ + （-6）³

　　64 = （-1）³ + 1³ + 4³

　　65 = 91³ + 85³ + （-111）³

　　66 = 1³ + 1³ + 4³

　　67 不可能

　　68 不可能

　　69 = 2³ + （-4）³ + 5³

　　70 = 11³ + 20³ + （-21）³

　　71 = （-1）³ + 2³ + 4³

　　72 = 7³ + 9³ + （-10）³

　　73 = 1³ + 2³ + 4³

　　74 = （-284650292555885）³ + （66229832190556）³ + （283450105697727）³

　　75 = 4381159³ + 435203083³ + （-435203231）³

　　76 不可能

　　77 不可能

　　78 = 26³ + 53³ + （-55）³

　　79 = （-19）³ + （-33）³ + 35³

　　80 = 69241³ + 103532³ + （-112969）³

　　81 = 10³ + 17³ + （-18）³

　　82 = （-11）³ + （-11）³ + 14³

　　83 = （-2）³ + 3³ + 4³

　　84 = （-8241191）³ + （-41531726）³ + 41639611³

　　85 不可能

　　86 不可能

　　87 = （-1972）³ + （-4126）³ + 4271³

　　88 = 3³ + （-4）³ + 5³

　　89 = 6³ + 6³ + （-7）³

　　90 = （-1）³ + 3³ + 4³

　　91 = 364³ + 192³ + （-381）³

　　92 = 1³ + 3³ + 4³

　　93 = （-5）³ + （-5）³ + 7³

　　94 不可能

　　95 不可能

　　96 = 10853³ + 13139³ + （-15250）³

　　97 = （-1）³ + （-3）³ + 5³

　　98 = 14³ + 9³ + （-15）³

　　99 = 2³ + 3³ + 4³

　　100 = 7³ + （-3）³ + （-6）³